Подробности

Просмотров: 80

Лаборатория теории интегро-дифференциальных уравнений

Заведующий лабораторией,

доктор физико-математических наук,

профессор 

Искандаров Самандар

Лаборатория берет начало своей деятельности с отдела физики и математики при Президиуме республиканской Академии наук, организованном в 1955 году. В I960 г. был создан сектор теории интегро-дифференциальных уравнений, который был потом преобразован в лабораторию.

В начале своей деятельности основным направлением научных исследований определено: Общая и качественная теория интегро-дифференциальных уравнений.

В настоящее время развиваются следующие направления научных исследований:

Общая и качественная теория интегро-дифференциальных уравнений, интегральных уравнений и дифференциальных уравнений в потаенных и частных производных;
Изучение влияния интегральных возмущений на качественные свойства решений дифференциальных уравнений и функций - свободных членов;
установление специфических признаков устойчивости решений линейных однородных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра, в том числе высоких порядков;
Разработка и развитие аналитических (общих и качественных) методов исследования;
Лаборатория работает над научно-исследовательским проектом «Развитие и приложения качественных методов исследования дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений».

За время существования в лаборатории разработаны новые методы исследований:

метод перехода от однородного интегро-дифференциального уравнения к неоднородному (Я.В. Быков);
метод интегральных неравенств с невырожденными ядрами (Я.В. Быков, Ю.А. Ведь);
метод специальных последовательных приближений для интегро-дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами (Ю.А. Ведь);
метод интегральных преобразований для исследования влияния интегральных возмущений типа Вольтерра в теории устойчивости скалярных векторных дифференциальных уравнений (М.И. Иманалиев, Ю.А. Ведь);
метод дополнительного аргумента для дифференциальных уравнений в частных производных с интегральным коэффициентом (М.И. Иманалиев, Ю.А. Ведь); конечные методы в теории многомерного ветвления (А.И. Боташев);
метод введения параметров для изучения проблемы периодических решений интегро-дифференциальных уравнений тип Вольтерра (А.И. Боташев);
метод весовых функций для интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра второго порядка (Ю.А. Ведь, З. Пахыров);

метод весовых и срезывающих функций для скалярных и векторных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра (С. Искандаров);

метод частичного срезывания (С. Искандаров, Д.Н. Шабданов);
метод возведения уравнений в квадрат для интегро-дифференциальных уравнений второго порядка и неявного интегро-дифференциальных уравнений первого порядка типа Вольтерра (С. Искандаров);
метод, основанный на преобразованиях позволяющий изучить асимптотические свойства решений интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра первого порядка в критическом случае (с нулевым коэффициентом искомой функции) и установить специфические признаки наличия различных асимптотических свойств (оценки, ограниченности, устойчивости, стремления к нулю, в том числе по экспоненциальному и степенному закону, степенной абсолютной интегрируемости на полуоси и др. качественных свойств) решений интегро-дифференциальных уравнений первого и второго порядков типа Вольтерра (С. Искандаров);

нестандартный метод сведения к системе, состоящей из одного дифференциального уравнения первого порядка и одного интегро-дифференциального уравнения второго порядка с введением некоторой мнительной весовой функции, для интегро-дифференциальных уравнений третьего порядка типа Вольтерра (С. Искандаров, А.Т. Халилов);
нестандартные методы сведения к системе: для интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра второго порядка (с введением некоторых вспомогательных параметра и положительной весовой функции, система состоит из одного дифференциального уравнения первого порядка и одного интегро-дифференциального уравнения первого порядка); в трех вариантах для дифференциальных уравнений и интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра третьего порядка, в том числе метод, обобщающий метод С. Искандарова, А.Т. Халилова; в различных вариантах для интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра четвертого, пятого, шестого порядков (С. Искандаров);
метод интегральных неравенств с запаздываниями (Ю.А. Ведь, Л.Н. Китаева, С. Искандаров, М.А. Темиров);
метод интегральных неравенств первого рода (без и с запаздываниями аргументов), позволяющий изучить влияние интегральных возмущений типа Вольтерра на ограниченность решений скалярных и векторных ДУ (С. Искандаров).

Приведем некоторые из результатов. Исследованы вопросы корректности на полуоси задачи Коши в любой заданной точке полуоси для систем интегро-дифференциальных уравнений, сохранения приобретения и потери устойчивости системам линейных дифференциальных уравнений при их интегральных возмущениях тип Вольтерра; оценок, ограниченности, степенной абсолютной интегрируемости на полуоси, стремления к нулю, в том числе по экспоненциальному степенному закону, устойчивости и асимптотической устойчивости, колеблемости решений дифференциальных и вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений, в том числе запаздываниями; специфические признаки наличия асимптотических свойств решений линейного однородного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения первого порядка в критическом случае (с нулевым коэффициентом искомой функции), неявного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения первого порядка и интегро-дифференциальных уравнений высоких порядков типа Вольтерра; оценки снизу и стремление к бесконечности решений линейного однородного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения первого порядка с охватом критического случая; стремления к конечным пределам решений и разрешимости предельной задач для систем дифференциальных уравнений отклоняющимся аргументом, интегро-дифференциальных и разностных уравнений; асимптотических оценок решений дифференциальных уравнений, асимптотической эквивалентности интегро-дифференциальных систем, об асимптотических свойствах решений интегральных уравнений тип Вольтерра без предположения, что изучаемыми соответствующими асимптотическими свойствам обладают и свободные члены.

Решена проблема асимптотической устойчивости на полуоси линейных однородных интегро-дифференциальных уравнений второго порядка типа Вольтерра в случае, когда соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка асимптотически неустойчиво, а также - проблема экспоненциальной устойчивости этих интегро-дифференциальных уравнений в той же постановке. По результатам проведенных научных исследований опубликовано более 800 научных работ, в том числе 10 монографий (Я.В. Быков - 7, А.И. Боташев - 2, С. Искандаров - 1); на научных форумах различных уровней (съездах, симпозиумах, международных, Всесоюзных, Региональных, местных конференциях, иногородних семинарах) сотрудниками лаборатории сделаны более 350 научных докладов и сообщений, в том числе в Германии, Венгрии, Польше (Ю.А. Ведь), а также в гг. Москва, Киев, Минск, Алматы, Душанбе, Рига, Ашхабад, Новосибирск, Одесса, Пермь, Уфа, Челябинск, Самарканд, Шымкент (Я.В. Быков, Ю.А.Ведь, А.И. Боташев, Ч. Жаныбеков, С. Искандаров, А.Т. Халилов, М.А. Темиров).

Лаборатория выпускала с 1961 года тематический сборник «Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям», опубликованы 41 выпуск, сборник являлся официальным периодическим изданием, известен в нашей стране и за рубежом. Имел научные связи с КГТУ, КНУ им. Ж.Баласагына, Институтом математики НАН Украины, Институтом математики и механики АН Азербайджана, Математическим институтом им. А. Размадзе АН Грузии, МГУ им. М.В. Ломоносова, КазНУ им. Аль-Фараби (Алматы), ЕНУ им. Л.Н. Гумилева (Астана).

Из числа настоящих и бывших сотрудников аспирантов и соискателей более 25 человек защитили кандидатские диссертации, 3 - докторские диссертации (А.И. Боташев, Ч. Джаныбеков, С. Искандаров).

Лабораторией (сектором) теории интегро-дифференциальных уравнений до 1967 года руководил д.ф. м.н., проф., член-корр. АН Кирг. ССР Я.В.Быков, с 1967 года по 2006 г. заведующим лабораторией был к.ф.-м.н. Ю.А.Ведь, с 2006 г. по настоящее время лабораторией руководит д.ф.-м.н. С. Искандаров.